Theorie.

Theorie

Trillingen opwekken.

1. Inhoudstafel

1. Inhoudstafel
2. Inleiding
3. August Kundt
4. Franz Melde
5. Besluit
Download PDF



2. Inleiding

Tegenwoordig zijn er enorm veel manieren om trillingen op te wekken. Maar hoe deden ze dat vroeger? In dit verslag toon ik aan hoe de geleerden vroeger trillingen genereerden bij hun experimenten.


3. August Kundt

August Kundt wilde de geluidssnelheid berekenen, daarvoor maakte hij staande golven in een buis. Om die geluidsgolven te genereren had hij een staaf, die was vastgeklemd in het midden. De ene kant zat dan in de buis, er ging dan ook een plaatje aan de staaf. Het plaatje raakte de buis niet. Deze proefopstelling is gekend als de proef van Kundt.

Wanneer hij van het midden van de staaf naar buiten toe wreef, met een doek waarop colofoniumpoeder werd gestrooid, dan ontstonden er longitudinale golven in de staaf. Het plaatje begon dan ook te trillen, waardoor de luchtdeeltjes in de buurt van het plaatje meetrilden. Hierdoor ontstonden geluidsgolven in de buis met een constante frequentie.

Als hij de zuiger verplaatste , dan ontstonden er bij bepaalde buislengtes staande golven in de buis. Door de staande golven vormde het lycopodiumpoeder in de buis hoopjes, dat zijn de knopen van de staande golven. Door het meten van de afstand tussen twee opeenvolgende knopen kun je de geluidssnelheid berekenen van het gas in de buis.


4. Franz Melde

Franz Melde zocht het verband tussen de kracht in een touw en de golfsnelheid van de golven in het touw. Hij maakte hiervoor een opstelling waarbij een touw werd opgespannen. Aan één kant was er een systeem om de kracht op het touw te verhogen of te verlagen. Aan de andere kant hing het touw vast aan een staafje van een stemvork. De staven van de stemvork stonden in deze opstelling parallel ten opzichte van het touw.



Wanneer de stemvork werd aangeslagen, trilde het touw mee met de stemvork. Bij bepaalde frequenties zal er dan een staande golf ontstaan in het touw. Wanneer hij dan de kracht veranderde op het touw veranderde de golfsnelheid en dus ook het aantal knopen en buiken. Op die manier vond hij uiteindelijk het verband tussen de kracht en de golfsnelheid op een touw.


5. Besluit

August Kundt en Franz Melde moesten trillingen genereren om hun experimenten uit te voeren. Maar vroeger bestonden de elektrische frequentiegenerators nog niet. Daarom maakten ze gebruik van de eigenfrequenties van materialen. August Kundt gebruikte een staaf om eigenfrequenties te aan te maken, terwijl Franz Melde een stemvork gebruikte.


-Jerke Ghekiere

Theorie

Golftheorie.

Voorwoord

Overal rondom ons is geluid, je kan er niet aan ontsnappen. ‘s Ochtens zingen vogels, overdag rijden er auto’s en zelfs ‘s nachts passeert er wel eens een trein. Maar wat is geluid precies en welke soorten geluid zijn er? In dit verslag zal ik deze vragen beantwoorden en ga ik nog een paar fenomenen rondom geluid onderzoeken.


1. Inhoudstafel

Voorwoord
1. Inhoudstafel
2. Wat is geluid?
3. Soorten geluid
3.1 Niet-perdiodieke geluiden
3.2 Periodieke Geluiden
3.2.1 Zuivere tonen
4. Fenomenen
4.1 Zwevingen
4.2 Interferentie
Download PDF



2. Wat is geluid?

Geluid is een mechanische golf, bestaand uit deeltjes van een middenstof waarin de golf zich voortbeweegt. De deeltjes van een geluidsgolf bewegen steeds heen en weer. Maar de gemiddelde positie ervan blijft hetzelfde. De golf is dus niets anders dan een drukverschil dat zich voortplant in een elastisch medium. Doordat bij geluid de trilrichting van de deeltjes samenvalt met de voortplantingsrichting van de golf zelf, spreken we van een longitudinale golf.


3. Soorten Geluid

3.1 Niet-periodieke geluiden

Dit zijn geluiden waarvan er geen herhaling van golf is. Bijvoorbeeld bij het klappen van de handen (a) of het scheuren van een stukje papier (b).

(a)

(b)


3.2 Periodieke geluiden

Bij periodieke geluiden is er wel een herhaling te zien in het golfpatroon. We noemen deze geluidsgolven tonen. De tijd tussen twee opeenvolgende herhalingen noemen we de periode. Als je het omgekeerde neemt van die periode heb je de frequentie van de geluidsgolf. In het voorbeeld onderaan wordt de klinker ‘A’ gezongen.



Nog een voorbeeld, maar met de klinker ‘ I ‘.




3.2.1 Zuivere tonen

Wanneer we een stemvork aanslaan, zien we een sinusvorm. Deze tonen noemen we zuivere tonen, soms worden ze ook wel muzikale tonen genoemd.


4. Fenomenen

4.1 Zwevingen

We plaatsen twee stemvorken naast elkaar, de eigen frequentie van de eerste stemvork is 440 Hz. Die van de andere is ongeveer 443 Hz. We slaan ze allebei aan en meten de resultaten. Intussen horen we het geluid versterken en verzwakken. Op de grafiek zien we het gemeten geluid, dit is gelijk aan de som van de twee geluidsgolven gemaakt door de stemvorken.

We kunnen op de grafiek de nieuwe functie zien, maar de amplitude verandert in functie van de tijd. Dit gebeurt ook met een constante frequentie. Als we de som van de twee oorspronkelijke sinusgolven maken, kunnen we dit ook aantonen.

\( y(t) = A*sin(2\pi[\frac{t}{T}-\frac{d}{\lambda}]) \)

(Deze formule werd opgesteld in het verslag “Golven” van Quinten Callewaert.)

We nemen de formules voor de twee golven en werken de som van de twee uit.

\(y_{1}(t) = A*sin(2\pi [\frac{t}{T}-\frac{d_{1}}{\lambda}])\)

\(y_{2}(t) = A*sin(2\pi [\frac{t}{T}-\frac{d_{2}}{\lambda}])\)


\(y(t) = y_{1}(t) + y_{2}(t)\)

\(y(t) = A*sin(2\pi [\frac{t}{T}-\frac{d_{1}}{\lambda}]) + A*sin(2\pi [\frac{t}{T}-\frac{d_{2}}{\lambda}])\)

\(y(t) = A[sin(2\pi [\frac{t}{T}-\frac{d_{1}}{\lambda}]) + sin(2\pi [\frac{t}{T}-\frac{d_{2}}{\lambda}])]\)

\(y(t) = 2A[sin(\frac{2\pi(\frac{t}{T}-\frac{d_{1}}{\lambda}+[\frac{t}{T}-\frac{d_{2}}{\lambda}])}{2})*cos(\frac{2\pi(\frac{t}{T}-\frac{d_{1}}{\lambda}-[\frac{t}{T}-\frac{d_{2}}{\lambda}])}{2})]\)

\(y(t) = 2Acos[\pi(\frac{d_{2}-d_{1}}{\lambda})]*sin[\pi(\frac{2t}{T}-\frac{d_{1}+d_{2}}{\lambda})]\)

We splitsen deze functie op in \(sin[\pi(\frac{2t}{T}-\frac{d_{1}+d_{2}}{\lambda})]\) en \(2Acos[\pi(\frac{d_{2}-d_{1}}{\lambda})]\).

\(sin[\pi(\frac{2t}{T}-\frac{d_{1}+d_{2}}{\lambda})]\) zien we als de frequentie van de functie. Dan blijft \(2Acos[\pi(\frac{d_{2}-d_{1}}{\lambda})]\) nog over, we zien dit als de amplitude. De cosinus heeft een bereik tussen [-1, 1] dus de amplitude ligt tussen [-2A, 2A]. Dit is ook te zien op de grafiek.



4.2 Interferentie

Twee geluidsbronnen staan twee meter van elkaar vandaan. Beide geluidsbronnen sturen een toon met een frequentie van 470 Hz. Hierdoor ontstaan er twee golven, ze bewegen in tegenovergestelde richting en hebben een faseverschil van 180°. De twee geluidsgolven creëren een staande golf met knopen en buiken. Dit zijn plaatsen waar er maximale beweging is van luchtdeeltjes (buiken) en plaatsen met minimale beweging van luchtdeeltjes (knopen). We verplaatsen de geluidssensor van links naar rechts tussen de geluidsbronnen. We zien op bepaalde plaatsen een grotere sinusgolf en op andere plaatsen zien we een uitdoving.


Eén geluidsbron met sinusgolf van 470 Hz:



Wat we meten bij een buik van de staande golf:



Wat we meten bij een knoop van de staande golf:

Op de grafiek zien we dat er geen duidelijke sinusvorm is, de twee golven doven elkaar uit. We merken ook dat de frequentie gelijk blijft en alleen de amplitude verdubbelt.

- Jerke Ghekiere

Theorie

Golven.

1. Inleiding

Golven komen we in allerlei toepassingen in het dagdagelijkse leven tegen. In deze toepassingen komen de golven in verschillende vormen voor. Of het nu gaat om de rimpelingen in een vijver, het geluid van een muziekinstrument of de elektrische signalen die door onze apparaten worden getransporteerd, golven spelen een belangrijke rol in de manier waarop energie en informatie zich verspreiden.


2. Mechanische golven

2.1. Wat zijn mechanische golven?

Voorbeelden van mechanische golven zijn geluidsgolven en watergolven. Mechanische golven treden op in allerlei soorten middens, zoals in water, in elastische voorwerpen of in een verzameling van voorwerpen die onderling verbonden zijn. Kenmerkend voor deze golven is dat zij materie nodig hebben om zich voort te planten.


2.2. Ontstaan van mechanische golven

Mechanische golven ontstaan door een verstoring van het evenwicht in een bepaald medium. Deze storing omvat bijvoorbeeld een trilling van een object, drukverandering of een beweging van deeltjes in het medium. De verstoring zorgt voor een tijdelijke afwijking van de evenwichtspositie van de deeltjes in het medium.

Die afwijking bezit energie die van het ene deeltje naar een ander deeltje wordt doorgegeven, een energieoverdracht dus. Hierna wordt de overgedragen energie verspreid over het medium als golf. De deeltjes geven telkens hun energie door aan hun aangrenzende deeltjes waardoor de golf zich voortplant als gevolg van de onderlinge krachten en interacties tussen de deeltjes in het medium.

Naarmate de golf zich voortplant, keren de deeltjes van het medium terug naar hun evenwichtstoestand. Dit proces herhaalt zich totdat het weer in evenwicht is.


2.3. Transversale en longitudinale golven

Mechanische golven zijn op te delen in 2 soorten, namelijk transversale en longitudinale golven.

Transversale golven hebben als kenmerk dat de trilrichting en de voorplantingsrichting van de golf loodrecht op elkaar staan. Voorbeelden hiervan zijn watergolven: de deeltjes van het water bewegen op en neer terwijl de golf zich horizontaal wil voortplanten.



Een ander voorbeeld is een golf in een gespannen koord. Wanneer je een koord strak spant en aan het trillen brengt, ontstaan transversale golven in het koord. Hierbij trillen de deeltjes op en neer in een richting die loodrecht staat op de voorplantingsrichting van de golf.

Bij longitudinale golven loopt de trilrichting evenwijdig met de voortplantingsrichting. Ze veroorzaken variaties van dichtheid en ook verschillen in de druk van de deeltjes in het medium. Er zijn afwisselende gebieden met verdichtingen (hogere druk) en verdunningen (lagere druk).



3. Dimensies van golven

Je kan ook nog een indeling maken in golven op het gebied van de dimensies waarin een golf zich voortplant.

Eendimensionale golven zijn golven die zich uitbreiden in één enkele richting. Voorbeelden hiervan zijn een golf op een touw of een geluidsgolf in een tunnel.

Tweedimensionale golven zijn golven die zich uitbreiden in een vlak. Voorbeelden hiervan zijn golven op een trommelvlies of golven op een wateroppervlak.

Driedimensionale golven zijn golven die zich uitbreiden in de ruimte. Een voorbeeld hiervan zijn geluidsgolven in een open ruimte.


4. Begrippen rond golven

4.1. Golffronten

Golffronten kunnen we zien als de verzameling van alle deeltjes die op hetzelfde tijdstip trillen. Golffronten schuiven op volgens de golfsnelheid. Golffronten kunnen ook andere vormen hebben.

Lijnen of vlakken: dan spreken we van vlakke golven, bv. golven in een tunnel.

Cirkelvormig: dat zijn circulaire golven, bv. golven op een wateroppervlak.

Bolvormig: dat zijn sferische golven, bv. geluidsgolven in de ruimte.



4.2. Golfstralen

De golfstralen zijn lijnen vanuit de bron die loodrecht op de golffronten staan. Een golfstraal is dus de richting waarin een golffront zich zal voortbewegen. En dit voor zowel circulaire als vlakke golffronten.


4.3. Golflengte

De golflengte λ is de afstand waarover de trilling zich uitbreidt in een tijd T. De afstand tussen twee opeenvolgende golffronten is gelijk aan de golflengte.


Golftoppen heb je wanneer de amplitude maximaal is en golfdalen wanneer de amplitude minimaal is. Golflengte is de afstand tussen 2 toppen of 2 dalen. Een knooppunt heb je als de golf in neutrale toestand is, dus op de nul ligt / je as snijdt. Eén periode is steeds hetzelfde (sinus)vormig stukje dat zich steeds herhaalt in een bepaalde tijdsinterval, het hoeft niet sinusvormig te zijn, het kan bv. ook blokvormig zijn. De frequentie is een trilling per seconde, de frequentie heeft invloed op de golflengte. Bij een golf met hogere frequentie zullen de golven korter zijn en sneller op elkaar volgen.



5. Huygens

Elk punt van een golffront is als het ware het uitganspunt van een nieuwe golfbeweging. Ze treden zelf als het ware op als trillingsbron en veroorzaken secundaire golven. In een homogeen midden, waar de voortplantingssnelheid dezelfde is in alle richtingen, zullen na een bepaalde tijdsinterval de golffronten van deze secundaire golf zo gevorderd zijn dat hun omhullende een nieuw golffront vormen. Op dezelfde manier gaat elk punt van dit nieuwe golffront het uitgangspunt zijn van andere secundaire golven en zo herhaalt het proces zich.




Op basis van dergelijke experimenten en waarnemingen formuleerde Huygens de volgende hypothese.

Elk punt van een golffront kan worden beschouwd als een trillingsbron waaruit golven ontstaan. Deze secundaire golven planten zich in alle richtingen voort met dezelfde snelheid als de golven van de oorspronkelijke bron. Het volgende golffront is dan het omhullende van deze secundaire golven.


6. Eigenschappen van golven

6.1. Buiging van golven

Wanneer een vlakke golf terechtkomt op een scherm met een kleine opening, ontstaan er achter de opening cirkelvormige golffronten met dezelfde golflengte als deze van de vlakke golven. De vorm van de buiging aan de kleine opening kan verklaard worden met het beginsel van Huygens.

Buiging of diffractie ontstaat als golven binnendringen in het schaduwgebied van een hindernis of achter een scherm met kleine opening. Het buigingspatroon is cirkelvormig met dezelfde golflengte. Dit principe verklaart ook hoe het kan dat je muziek van een stereo-installatie kunt horen zelfs als je je ergens achter een muur bevindt. Het geluid dat je oor zal bereiken, is afgebogen.



6.2. Weerkaatsing van golven

We beschouwen een vlakke golf die vertrekt vanuit de bron als een invallende golf en de vlakke golf die weerkaatst wordt als de teruggekaatste golf. We kunnen waarnemen dat de teruggekaatste golven dezelfde snelheid en dezelfde golflengte hebben als de invallende golven. We zien ook dat de invalshoek gelijk is aan de terugkaatshoek.



Toepassingen van weerkaatsing van golven:

Een goed voorbeeld hiervoor is een echo die ontstaat door terugkaatsing van geluidsgolven. In de bergen kan het geluid zelfs meermaals worden terug gekaatst. Daardoor is onweer in de bergen zo overdonderend.

Nog een andere toepassing is de terugkaatsing van elektromagnetische golven op een paraboolantenne, zo kunnen signalen gebundeld worden en opgevangen door de antenne.

6.3. Breking van golven

De breking van golven is het afbuigen van golven wanneer ze van het ene medium naar het andere gaan, zoals van lucht naar water of van lucht naar gas. Dit veroorzaakt een verandering in de richting van de golf, en het kan ook leiden tot een verandering in snelheid en golflengte. Eigenlijk wordt dus de golfstraal aan de scheidingslijn gebroken en ontstaan er nieuwe golven met verschillende voortplantingsrichtingen.



Toepassing van breking van golven

De lichtgolven uitgezonden door de zon worden gebroken bij de overgang tussen de luchtlagen met een verschillende dichtheid. In elk van die luchtlagen heeft het licht een andere snelheid. Daardoor zien we de zon hoger aan de hemel dan dat ze zich in werkelijkheid bevindt.


6.4. Interferentie van golven

2 coherente trillingsbronnen werken tegelijk in op een wateroppervlak, waardoor we 2 identieke reeksen van cirkelvormige golven krijgen. We gaan uit van 2 golven in fase en met dezelfde amplitude. De golven die door beide trilpunten worden uitgezonden, dit fenomeen heet interferentie. De golven die door beide plaatsen worden uitgezonden kunnen elkaar op bepaalde posities versterken tot een maximale amplitude of kunnen elkaar op andere posities verzwakken tot een minimale amplitude



Deze afbeelding toont de interferentie van twee cirkelvormige golven (b.v. golven in water ). De golven breiden zich uit vanuit twee bronnen die trillen met dezelfde fase, we noemen dit coherente bronnen. Voor de interferentie geldt dat de golven daar, waar ze elkaar ontmoeten, opgeteld mogen worden.



Je kunt de volgende twee uiterste gevallen bekijken.

Op die punten waar het verschil in weglengte Δs (het verschil in afstand vanaf de twee bronnen naar een willekeurig punt) een even aantal keer een halve golflengte (λ/2) bedraagt, komen de golven in dezelfde fase aan en versterken ze elkaar tot maxima (zwarte cirkels) respectievelijk minima (grijze cirkels). De interferentie laat hier dus een versterking zien met maximale amplitude. Al de punten die hieraan voldoen, zijn te zien op de figuur en liggen op de rode lijnen.

Daar waar het weglengteverschil Δs van de golven een oneven aantal keer de halve golflengte (½ λ) is, gebeurt er iets anders. In deze punten komen beide golven aan in tegenfase en doven ze elkaar uit, zodat er verzwakking optreedt (minimale amplitude).


7. Wiskunde van de golven

\(λ= golflengte [m]\)

\(f = frequentie [hz]\)

\(v_{golf} = golfsnelheid [m/s]\)

\(T = periode[s]\)

\(A= amplitude [m]\)

Afleiding sinusgolf

We kunnen de uitwijking van een punt p van een golf schrijven als een functie 𝑦(𝑥,𝑡). De tijd t wordt gemeten vanaf het ogenblik dat de bron begint te trillen.




Voor het opstellen van de golfvergelijking beperken we ons tot ééndimensionale golven, opgewekt door een harmonische trilling en we nemen ook aan dat de golf geen energie verliest.

De elongatie van het punt o kunnen we noteren als:

\(𝑦(𝑡)= Asin(ω \cdot t)\)

Als de golf zich verplaatst van een punt o naar een punt p zal de golf een tijd Δt later het punt p bereiken. Dus als het punt o gedurende een tijd t trilt, dan trilt het punt p nog maar gedurende een tijd t – Δt. Omdat we ervan uitgaan dat er geen energieverlies optreedt, mogen we aannemen dat de amplitude van alle punten hetzelfde is. De uitwijking van het punt p kunnen we dus noteren als:

\(𝑦(𝑥,𝑡)=Asin(ω \cdot (t-Δt)) \)

Omdat de golf zich eenparig voortplant met een snelheid v is de afstand o tot p gelijk aan:

\(𝑑= v \cdot Δt \Rightarrow Δt = \frac dv \)

Waardoor de golffunctie van het punt p kan geschreven worden als:

\(𝑦(𝑥,𝑡)=Asin(ω \cdot (t- \frac dv))\)
\(v = λ \cdot f\)
\(ω = 2 π f = \frac{2\pi }T \)
\(𝑦(𝑥,𝑡)=Asin(\frac{2\pi }T (t - \frac d{\frac λT}))\)
\(𝑦(𝑥,𝑡)=Asin(2 π (\frac tT - \frac dλ))\)

Deze vergelijking toont aan dat de uitwijking van een deeltje p, dat door een golf getroffen wordt, afhankelijk is van de tijd t en van de afstand d tot de trillingsbron.

-Quinten Callewaert

Theorie

Decibel en het verschil tussen dB(A), dB(C) en dB(G).

2. Decibel (dB)

Decibel (dB) is een grootheid die gebruikt wordt om het volumeniveau weer te geven. Het is een verhouding van twee waarden op een logaritmische schaal.

Het luidheidsniveau (L) wordt gedefinieerd als de logaritmische verhouding van de gemeten geluidsintensiteit (I) en een referentiewaarde (I0). Deze referentiewaarde is de intensiteit bij de gehoordrempel en bedraagt 10-12 W/m2 (I0). De gehoordrempel is het stilste geluid dat een gemiddelde persoon kan waarnemen.

\(L = 10 \log \left( \frac{I}{I_0} \right) \, \text{dB} \)

Het luidheidsniveau wordt gebruikt om te evalueren hoeveel geluid er op een bepaalde plaats aanwezig is. De pijngrens of pijndrempel is het geluidsniveau waarbij de persoon pijn ervaart en wordt deze grens wordt meestal gelegd op 120 dB.

geluidsschaal in decibel met voorbeelden van geluidsomgevingen


3. Het verschil tussen dB(A), dB(C) en dB(G)

De letters A, C en G wijzen elk op een andere correctie of weging die wordt toegepast op geluidswaarden bij verschillende frequenties. Deze correcties zijn nodig om rekening te houden met de verschillende frequenties die ons gehoor anders waarneemt. Bij metingen zonder correctie spreekt men gewoon van dB.

3.1 dB(A)

De A-weging komt het meest overeen met de gevoeligheid van het menselijk oor. We kunnen dezelfde toonsterktes waarnemen bij verschillende frequenties. De grootste gevoeligheid bezit ons gehoor voor frequenties rond de 1000Hz. Lage en hoge frequenties horen we niet of minder goed.

In bovenstaande grafiek is de A-weging in het rood weergegeven. Bij een frequentie van 1000Hz wordt geen correctie uitgevoerd, de weging is daar 0dB. Bij een frequentie van 10Hz bedraagt de weging -70dB. Dat betekent dat een mens een toon van 10Hz veel zachter hoort dan een toon van 1000Hz.

De A-weging is de meest gebruikte weging. Ze wordt toegepast bij algemene geluidsmetingen bv. omgevingsgeluiden. Het resultaat in dB(A) geeft een betere benadering van hoe mensen geluid ervaren. Het is vooral nuttig om de impact op het menselijk gehoor te beoordelen.

3.2 dB(C)

De C-weging is minder gebruikelijk en wordt toegepast bij metingen van zeer lage frequenties. De C-weging, die in de grafiek in het groen weergegeven is, heeft een vlakke curve bij hoge frequenties. Deze curve ligt hoger dan de rode curve bij lage frequenties, d.w.z. dat bij lagere frequenties het gewicht van de C-weging groter zal zijn dan het gewicht bij de A-weging. De geluidswaarde in dB(C) is hierdoor meer geschikt voor de beoordeling van specifieke hinder door bv. basgeluiden bij muziekevenementen.

3.3 dB(G)

De G-weging, die in de grafiek in het blauw weergegeven is, houdt vooral rekening met de infrasone frequenties tussen 10Hz en 20Hz. Lagere en hogere frequenties worden weggelaten. Geluidswaarden in dB(G) worden gebruikt bij de specifieke beoordeling van hinder van infrageluid door bv. windturbines.

-Julian Ampe

Theorie

Staande golven.

Voorwoord

In het vijfde middelbaar hebben we les gekregen over trillingen en golven, we zijn in contact gekomen met allerlei soorten golven waaronder ook staande golven. Nu in het zesde jaar hebben we als GIP-opdracht verschillende proeven rond geluid gedaan. Zo ontdekten we heel wat geluidsgolven waaronder een aantal staande.


1. Inleiding

Als we een gitaarsnaar aanslaan, doen we deze trillen en creëert de gitaar een geluid. Maar hoe komt dat nu?

In dit verslag wordt er kort uitgelegd wat staande golven zijn en hoe ze theoretisch en praktisch gecreëerd worden en/of ontstaan.

In het verslag wordt enkel de ééndimensionale staande golf besproken.


2. Wat zijn staande golven?

Op de afbeelding hiernaast zie je twee gelijke golven die in een tegengestelde zin bewegen. De individuele golven zijn rood en blauw. De som van de twee golven wordt weergegeven in het zwart.



De zwarte golf verplaatst zich niet naar links of naar rechts, hij heeft dus geen looprichting in tegenstelling tot de rode en de blauwe golf. Dit fenomeen van de zwarte golf noemen we een staande golf.



Op de derde afbeelding kan je zien dat er punten zijn die constant stil staan (amplitude gelijk aan nul) en punten zijn die voortdurend maximaal uitwijken (amplitude maximaal). Deze punten noemen we respectievelijk knoop-en buikpunten.



In de praktijk wordt dit dikwijls bereikt door een golf terug te laten kaatsen. Hierdoor verkrijg je dat de uitgezonden golf plus de teruggekaatste golf gelijk is aan een staande golf, maar enkel nog steeds met de voorwaarde dat de twee golven een gelijk amplitude, richting en tegengestelde zin hebben. Het meest voorkomende voorbeeld hiervan is in een touw of koord.

Bij een geluidsgolf ontstaan verdichtingen en verdunningen van deeltjes in de richting waarin de luchtdeeltjes zelf ook heen en weer trillen. De trilrichting en de voortplantingsrichting van de storing zijn hier gelijk. Dit zijn longitudinale golven.

De frequenties waarbij staande golven optreden, zijn afhankelijk van het touw of medium dat je gebruikt of in werkt. Die frequenties zijn de eigenfrequenties van het touw of van het medium.


3. Grondtoon en boventonen


Deze bovenstaande golven zijn zichtbaar wanneer we een snaar aanslaan. Ze zijn de drie eenvoudigste staande golven die in een snaar kunnen voorkomen. De bovenste staande golf staat bekend als de grondtoon (n = 1). Zoals geïllustreerd, heeft deze golf een buik in het midden en twee knopen aan de uiteinden. Deze knopen ontstaan vanzelf omdat de uiteinden van de snaar vastzitten. Zoals je kunt zien bevat de snaar in de grondtoon een halve golflengte.

De twee andere tonen noemen we boventonen. Boventonen hebben minimaal twee knooppunten en minimaal twee buiken over de totale lengte van de snaar. De snaar in de eerste boventoon bevat een hele golflengte. De snaar in de tweede boventoon bevat anderhalve golflengte etc.

Een boventoon kan je dus zien als een veelvoud van de grondtoon.


4. Soorten staande golven

4.1. Gesloten

Een gesloten staande golf is een staande golf met twee vaste uiteinden of twee gesloten uiteinden. We weten dus dat bij de grondtoon één buik voorkomt in het midden (zoals op naastliggende afbeelding het tweede patroon). Het derde patroon stelt de eerste boventoon voor en het vierde patroon stelt de tweede boventoon voor. Bij de eerste boventoon zijn er twee buiken, bij de tweede boventoon drie enz.


Zo komen we tot volgende formule voor de totale lengte tussen de twee vaste uiteinden in functie van de golflengte:

\(L=n\cdot \frac{λ}{2} \)

Met in bovenstaande formule: L de lengte van de snaar in meter, n het aantal buiken en λ de golflengte in meter.

We kunnen nu ook de frequentie van een boventoon afleiden. We gebruiken hiervoor opnieuw dezelfde afbeelding waarbij de eerste golf de grondtoon voorstelt en het tweede en derde patroon respectievelijk de eerste en de tweede boventoon voorstellen.

We stellen telkens eerst een formule op voor de lengte van de snaar tussen de twee vaste uiteinden in functie van de golflengte. Daarna stellen we omgekeerd een formule op voor de golflengte in functie van de totale lengte. Om deze vervolgens te gebruiken in de algemene formule om de frequentie te bepalen in functie van de snelheid en de golflengte. Deze algemene formule is de volgende: \(f=\frac{v}{λ}\).


\(L= \frac{λ_1}{2} \; \rightarrow \; λ_1=2L \; \rightarrow \; f_1 = \frac{v_x}{λ_1} \; \rightarrow \; f_1= \frac{v_x}{2L}\)


\(L= λ_2 \; \rightarrow \; λ_2=L \; \rightarrow \; f_2=\frac{v_x}{λ_2} \; \rightarrow \; f_2= \frac{v_x}{L} =2f_1 \)

\(L= \frac{3λ_3}{2} \; \rightarrow \; λ_3=\frac{2}{3}L \; \rightarrow \; f_3=\frac{v_x}{λ_3} \; \rightarrow \; f_3= \frac{3v_x}{2L}=3f_1\)



We nemen waar dat de frequentie van een boventoon telkens een veelvoud is van de frequentie van de grondtoon. Hiervoor kunnen we een algemene formule schrijven:

\(fn=n \cdot f1\)

Waarin fn de frequentie van een boventoon in Hz voorstelt, n het nummer van de toon is of met andere woorden het aantal buiken in de staande golf voorstelt. En f1 de frequentie in Hz van de grondtoon is.

4.2. Open

Een open staande golf is een golf waarbij de uiteinden open zijn, de uiteinden zijn dus niet vast zoals bij een gesloten staande golf. Dat wil zeggen dat er twee buiken bevinden op de twee uiteinden. Deze soort golf is het omgekeerde van een gesloten staande golf. Het eerste patroon stelt hier de grondtoon voor met één knooppunt tussen de twee uiteinden. Het tweede patroon stelt de eerste boventoon voor en het derde de tweede boventoon enz.



Zo komen we tot de formule voor de totale lengte tussen de twee losse uiteinden in functie van de golflengte:

\(L=n \frac{1}{2λ}\)

Met in bovenstaande formule: L de lengte van de snaar in meter, n het aantal buiken en λ de golflengte in meter.

We kunnen nu opnieuw de frequentie van een boventoon afleiden. We gebruiken hiervoor terug dezelfde afbeelding waarbij hier ook de eerste golf de grondtoon voorstelt en het tweede en derde patroon respectievelijk de eerste en de tweede boventoon voorstellen.

We stellen telkens eerst een formule op voor de lengte van de snaar tussen de twee losse uiteinden in functie van de golflengte. Daarna stellen we omgekeerd een formule op voor de golflengte in functie van de totale lengte. Om deze vervolgens te gebruiken in de algemene formule om de frequentie te bepalen in functie van de snelheid en de golflengte. Deze algemene formule is de volgende: \(f=\frac{v}{λ}\).


\(L= \frac{λ_1}{2} \; \rightarrow \; λ_1=2L \; \rightarrow \; f_1 = \frac{v_x}{λ_1} \; \rightarrow \; f_1= \frac{v_x}{2L}\)


\(L= λ_2 \; \rightarrow \; λ_2=L \; \rightarrow \; f_2=\frac{v_x}{λ_2} \; \rightarrow \; f_2= \frac{v_x}{L} =2f_1 \)

\(L= \frac{3λ_3}{2} \; \rightarrow \; λ_3=\frac{2}{3}L \; \rightarrow \; f_3=\frac{v_x}{λ_3} \; \rightarrow \; f_3= \frac{3v_x}{2L}=3f_1\)



We nemen waar dat de frequentie van een boventoon hier ook telkens een veelvoud is van de frequentie van de grondtoon. Hiervoor kunnen we ook weer een algemene formule schrijven:

\(fn=n \cdot f1\)

Waarin fn de frequentie van een boventoon in Hz voorstelt, n het nummer van de toon is of met andere woorden het aantal buiken in de staande golf voorstelt. En f1 de frequentie in Hz van de grondtoon is.

4.3. Halfopen, halfgesloten

Als derde geval hebben we een halfopen of halfgesloten staande golf. Deze golf kan je zien als een combinatie van een open en een gesloten staande golf. Aan het ene uiteinde is er een knoop aanwezig en in de andere een buik.

Er zijn slechts één buik en één knoop aanwezig bij de grondtoon. De lengte van de grondtoon is dus slechts een vierde van de totale golflengte. Het eerste patroon stelt hier de grondtoon voor, het tweede patroon stelt de eerste boventoon voor en het derde de tweede boventoon enz.

We kunnen nu ook weer net zoals bij een gesloten en open staande golf een formule opstellen voor de totale lengte in functie van de golflengte:

\(L=\frac{2n-1}{4} λ\)



Ook hier is in de bovenstaande formule: L de lengte van de snaar in meter, n het aantal buiken en λ de golflengte in meter.

We kunnen nu opnieuw de frequentie van een boventoon afleiden. We gebruiken hiervoor een gelijkaardige afbeelding waarbij hier de eerste golf de grondtoon voorstelt en het tweede en derde patroon respectievelijk de eerste en de tweede boventoon voorstellen.

We stellen opnieuw telkens eerst een formule op voor de lengte van de snaar tussen het vaste en losse uiteinde in functie van de golflengte. Daarna stellen we omgekeerd een formule op voor de golflengte in functie van de totale lengte. Om deze vervolgens te gebruiken in de algemene formule om de frequentie te bepalen in functie van de snelheid en de golflengte. Deze algemene formule is de volgende: \(f=\frac{v}{λ}\).


\(L= \frac{λ_1}{4} \; \rightarrow \; λ_1=4L \; \rightarrow \; f_1 = \frac{v_x}{λ_1} \; \rightarrow \; f_1= \frac{v_x}{4L}\)


\(L=\frac{3 λ_2}{4} \; \rightarrow \; λ_2=\frac{4}{3}L \; \rightarrow \; f_2=\frac{v_x}{λ_2} \; \rightarrow \; f_2= \frac{3 v_x}{4L} =3f_1 \)

\(L= \frac{5λ_3}{4} \; \rightarrow \; λ_3=\frac{4}{5}L \; \rightarrow \; f_3=\frac{v_x}{λ_3} \; \rightarrow \; f_3= \frac{5v_x}{4L}=5f_1\)



We nemen waar dat de frequentie van een boventoon hier ook telkens een veelvoud is van de frequentie van de grondtoon. Hiervoor kunnen we ook weer een algemene formule schrijven:

\(fn=(2n-1) f1\)

Waarin fn de frequentie van een boventoon in Hz voorstelt, n het nummer van de toon is of met andere woorden het aantal buiken in de staande golf voorstelt. En f1 de frequentie in Hz van de grondtoon is.


5. Wiskundig

Wetende dat een staande golf een som is van twee golven met een tegengestelde zin, kunnen we een vergelijking opstellen steunende op het superpositiebeginsel. Volgens dit superpositiebeginsel mogen we de som nemen van de uitgezonden golf en de teruggekaatste golf bij zowel een vast uiteinde als een los uiteinde.

5.1. Golf

Om een wiskundige vergelijking op te stellen moeten we beginnen bij het begin en moeten we eerst weten wat een golf is.

Golven zijn eigenlijk periodieke trillingen, beter nog: harmonische trillingen.

5.1. Superpositiebeginsel

Omdat we een staande golf willen creëren, steunen we op het superpositiebeginsel, maar wat is dit nu precies? Stel een punt van een medium trilt onder invloed van meerdere golven, dan is de resulterende uitwijking op een bepaald tijdstip gelijk aan de som van de uitwijkingen van het punt op dat ogenblik veroorzaakt door elke golf. Dit is het superpositiebeginsel.

\(y_r (t)=y_1 (t)+ y_2 (t)\)

5.1.1. Harmonische oscillator

Als de y(t)-grafiek van een trilling de vorm van een harmonische functie heeft, noemen we de trilling een harmonische trilling. Als een voorwerp of lichaam een harmonische trilling uitvoert, dan wordt dit lichaam een harmonische oscillator genoemd.

De elongatie (uitwijking) van een harmonische oscillator kun je dus weergeven in volgende sinusfunctie:

\(y(t)=Asin(ωt+ φ)\)



Symbool Beschrijving
A De amplitude of de maximale uitwijking t.o.v. de evenwichtsstand.
ω De pulsatie van de harmonische trilling met ω = 2πf.
φ De beginfase van de harmonische trilling.

5.1.2. Golfvergelijking

Als we het uiteinde van een touw tot trillen brengen, dan heeft een punt op dat touw een bepaalde uitwijking die afhankelijk is van het tijdsstip en de positie van dat punt ten opzichte van de bron.

We kunnen de uitwijking of elongatie van een punt P van een golf schrijven als een functie y(x,t).

Bij deze formule is de voorwaarde dat de golf zich één-dimensionaal voortbeweegt en dat er geen demping of energieverlies plaatsvindt.

Stel we hebben een touw met daarop een punt P dat op een bepaalde afstand d van het startpunt of van de bron O zich bevindt. En wetende dat de golf sinusvormig is, dan kunnen we een formule opstellen voor de uitwijking in functie van de tijd.



\(y(t) = Asin(\omega t)\)

Als de golf zich verplaatst van punt O naar punt P dan zal de golf na een tijd Δt het punt p bereiken. Dus als het punt O gedurende tijd t trilt, dan trilt het punt P na een tijd t-Δt. Omdat we ervan uitgaan dat er geen energieverlies optreedt, mogen we aannemen dat de amplitude van alle punten op het touw hetzelfde zijn. We kunnen nu de uitwijking als volgt noteren:

\(y(x,t)=Asin(ω(t-Δt))\)

Doordat de golf zich eenparig voortplant met een snelheid v, kunnen we een formule opstellen voor de afstand d tussen punten O en P.

\(d=v \cdot Δt\)

We kunnen deze formule omvormen om de tijd te bepalen in functie van de afstand en de snelheid.

\(Δt=\frac{d}{v}\)

Als we nu deze formule voor de tijd invullen in onze andere formule voor de uitwijking, dan is de formule voor de elongatie gelijk aan:

\(y(x,t)=Asin(ω(t-\frac{d}{v}))\)

We weten ook dat de snelheid v gelijk is aan de golflengte maal de frequentie van de golf.

\(v=λ \cdot f\)

En dat de pulsatie ω gelijk is aan 2π op de tijd T, dus anders geschreven met de frequentie is de pulsatie is ook gelijk aan 2πf.

\(ω=2πf\)

We vullen nu deze twee formules in en we verkrijgen voor onze golffunctie:

\(y(x,t)=Asin(\frac{2π}{T} (t-\frac{d}{λ/T}))\)

\(\; \;=Asin(2π(\frac{t}{T}-\frac{d}{λ}))\)

De uitwijking is nu dus de amplitude of de maximale uitwijking t.o.v. de evenwichtsstand keer de sinus van 2 pi maal de tijd op de periode min de afstand van het punt P tot de bron O op de golflengte van de golf.

Met andere woorden de uitwijking is dus sterk afhankelijk van het tijdsstip en de positie van het punt op de golf.


5.2. Vast uiteinde

Allereerst zullen we het terugkaatsingsverschijnsel bespreken.

Op de linkerafbeelding is in het rood de uitgezonden golf afgebeeld met een vast uiteinde.



Op de rechterafbeelding zie je dat de uitgezonden golf wordt weerkaatst, maar niet onder dezelfde hoek. De teruggekaatste golf wordt met een faseverschuiving van pi radialen teruggekaatst t.o.v. de uitgezonden golf.



Om vervolgens een vergelijking voor een staande golf met een vast uiteinde op te stellen geven we eerst onze symbolen of tekens een betekenis of waarde. Zo zeggen we dat er de elongatie of uitwijking is van de uitgezonden golf en dat et de elongatie is van de teruggekaatste golf. De etot is dan de elongatie van de bekomen staande golf. Ook stellen we d gelijk aan de afstand van het touw of koord, en is x de afstand tussen het (vaste) uiteinde en een punt P op het touw. Lambda λ is hier ook weer de golflengte, A is de amplitude en ω is de pulsatie.

We stellen nu eerst de twee formules op van de uitgezonden golf en de teruggekaatste golf.

\(e_r=Asin(2π(\frac{t}{T}-\frac{d-x}{λ}))\)
\(e_t=-Asin(2π(\frac{t}{T}-\frac{d+x}{λ}))\)

De teruggekaatste golf is hier zoals je ziet negatief. Dit is omdat deze golf een tegengestelde zin heeft t.o.v. de uitgezonden golf, dus met een faseverschil van π radialen zoals in bovenstaande afbeelding uitgelegd.

Met het superpositiebeginsel kunnen we de twee golven optellen om de totale uitwijking te kunnen schrijven in één formule:

\(e_{tot}=e_r+e_t\)
\(e_{tot}=Asin(2π(\frac{t}{T}-\frac{d-x}{λ}))-Asin(2π(\frac{t}{T}-\frac{d+x}{λ}))\)



Toepassing wiskunde \(\Rightarrow\) verschil van twee sinussen:

\(e_{tot}=2A sin⁡(2π (\frac{(\frac{t}{T}-\frac{d-x}{λ})-(\frac{t}{T}-\frac{d+x}{x}))}{2}) cos⁡(2π (\frac{(\frac{t}{T}-\frac{d-x}{λ})+(\frac{t}{T}-\frac{d+x}{λ}))}{2})\)

Verdere uitwerking levert:

\(e_{tot}=2Asin(2π \frac xλ ) cos⁡(2π(\frac tT - \frac dλ ))\)

De elongatie of uitwijking is hier gelijk aan 2 keer de amplitude maal de sinus van 2 pi keer de afstand van het punt P tot het losse uiteinde op de golflengte, maal de cosinus van 2 pi keer de tijd op de periode min de afstand van de bron tot het vaste uiteinde op de golflengte.

Dit is nu de golfvergelijking voor een ééndimensionale staande golf met aan weerszijden een vast uiteinde.


5.3. Los uiteinde

Hoe is het terugkaatsingsverschijnsel bij een los uiteinde?

Op deze afbeelding kan je opnieuw de uitgezonden golf zien in het rood. We nemen ook waar dat bij een los uiteinde de teruggekaatste golf in het blauw geen faseverschil heeft t.o.v. de uitgezonden golf.



Bij een los uiteinde is de staande golfvergelijking hetzelfde als bij een vast uiteinde, enkel is nu het faseverschil tussen uitgezonden en weerkaatste golf geen π radialen, maar nul radialen verschil.


In deze vergelijking zijn alle tekens en symbolen dezelfde zoals bij een vast uiteinde.

De situatie is ook dezelfde met het verschil dat we nu met een los uiteinde werken.



\(e_r=Asin(2π(\frac tT - \frac{d-x}λ))\)
\(e_t=Asin(2π(\frac tT -\frac{d+x}λ))\)

We passen nu ook weer het superpositiebeginsel toe.

\(e_{tot}=e_r+e_t\)

\(e_{tot}=Asin(2π(\frac tT- \frac{d-x}λ))+Asin(2π(\frac tT-\frac{d+x}λ))\)

Toepassing wiskunde  som van twee sinussen:

\(e_{tot}=2Asin(2π \frac{(\frac tT- \frac{d-x}λ)+(\frac tT - \frac{d+x}λ))}2 \cdot cos⁡(2π \frac{(\frac tT - \frac{d-x}λ)-(\frac tT - \frac{d+x}λ)}2)\)

En verdere uitwerking levert:

\(e_{tot}=2Asin(2π(\frac tT - \frac dλ)) \cdot cos⁡(2π \frac xλ)\)

De elongatie of uitwijking is nu gelijk aan 2 keer de amplitude maal de sinus van 2 pi keer de tijd op de periode min de afstand van de bron tot het losse uiteinde op de golflengte, maal de cosinus van 2 pi keer de afstand van het punt P tot het losse uiteinde op de golflengte.

Dit is nu de vergelijking van een ééndimensionale staande golf om de elongatie te bepalen bij een los uiteinde.


6. Toepassing/voorbeeld

In de klas hebben we een opstelling opgebouwd. We hebben een koord opgespannen over een afstand van 653,1 cm. Aan het ene uiteinde hebben we het touw vastgeknoopt en aan het andere uiteinde bevindt zich de bron die het touw tot trillen brengt. Deze bron hebben we aangesloten op een Pasco-frequentiegenerator die vervolgens gekoppeld werd aan een laptop.

We hebben eerst de frequentie laten oplopen van 0 tot ongeveer 50 Hz. Elke keer dat er een staand golfpatroon zichtbaar was, werd de frequentie genoteerd.

Na wat proberen en de frequentiegenerator verschillende keren anders in te stellen konden we concluderen dat de grondtoon gelijk was aan 3,9 Hz.



Ook zagen we dat de boventonen elk ongeveer een veelvoud hiervan waren.

We wisten ook dat de frequentiegenerator echter niet heel accuraat was bij lage frequenties. We hebben dit dan ook kunnen aantonen door een oscilloscoop aan te sluiten op het uitgezonden signaal van de generator. De uitgezonden golf was duidelijk geen perfecte sinusgolf bij lage frequenties.





Aan dit experiment zijn natuurlijk een aantal formules te koppelen. In de eerste kolom (kolom A) zijn het aantal getelde buiken weergegeven. In de tweede kolom zijn de frequenties weergegeven.

In de derde kolom (kolom C) zijn dan de golflengtes weergegeven van elke frequentie. De golflengte λ is gelijk aan de totale lengte L gedeeld door het aantal buiken n maal twee, omdat er twee buiken zijn per golflengte.



\(λ= \frac 2n L\)

Vervolgens willen we bij iedere frequentie de snelheid van de golf bepalen in het touw. Snelheid kunnen we beschouwen als het product van de golflengte 𝜆 en de frequentie f. Deze snelheden worden weergegeven in kolom D.

\(v= λ \cdot f\)

We zien dat alle snelheden gelijk zijn. Dat is logisch want deze snelheid is de golfsnelheid in/van het touw.

De snelheid staat in kolom D echter wel nog in centimeter per seconde, maar in kolom E wordt de snelheid weergegeven in meter per seconde.

Gitaarsnaren zijn dunne, langwerpige metalen of nylon draden die over de hals van je gitaar zijn gespannen, van de brug tot de stempinnen. Ze zijn verantwoordelijk voor het geluid van je gitaar wanneer je erop speelt. De trilling van de snaren veroorzaakt geluidsgolven die door de klankkast van de gitaar worden versterkt en door het klankgat worden geprojecteerd.

Maar hoe werken gitaarsnaren? Wanneer een snaar wordt aangeslagen doen we deze trillen, periodiek trillen. Deze periodieke trilling of golf plant zich voort in de snaar. Wanneer de golf het uiteinde van de snaar, dat kan de kam of een fret zijn, bereikt, wordt deze teruggekaatst. Door het interfereren van de uitgezonden golf met de teruggekaatste golf ontstaat er een staande golf in de snaar. Door deze staande golf gaat het bovenblad meetrillen en zo ook de klankkast.



De toonhoogte van het geluid wordt bepaald door de frequentie van de golf, hoe sneller de snaar trilt, hoe hoger de toonhoogte. Daarom produceren dikkere snaren lagere tonen dan dunnere snaren.

De klank van het geluid is afhankelijk van de eigenfrequentie van de opbouw van de gitaar. Als je bijvoorbeeld een bovenblad neemt van een ander materiaal, dan heeft dat een andere eigenfrequentie en dus ook een andere klank. Hetzelfde kan je ook hebben met het klankgat. De eigenfrequentie is afhankelijk van de grote, vorm en positie. Er zijn zo nog eigenschappen of onderdelen van de gitaar die de eigenfrequentie kunnen beïnvloeden.

Voor de klank is het ook belangrijk dat de gitarist boven het klankgat speelt. Dit is voor een mooie projectie van het geluid. Soms spelen gitaristen niet boven het klankgat om een andere klank te creëren.

Wanneer een snaar wordt aangeslagen, produceert hij niet slechts één frequentie, maar meerdere frequenties tegelijk. Deze extra frequenties worden ook harmonischen genoemd.

Harmonischen kunnen de toon van je gitaar sterk beïnvloeden. Ze kunnen boventonen produceren en ze kunnen een rijker, complexer geluid creëren.

-Ward Luyssen